La forma adecuada de escribir la expresión es a pesar de que, con la preposición de, cuando va seguida de una oración subordinada, aunque con frecuencia nos encontremos con la expresión a pesar que.

Según el Diccionario panhispánico de dudas se considera inapropiado por tratarse de un queísmo. 

Veamos algunos ejemplos:

       *A pesar que estudié mucho, no logré sacar buena nota en el examen.

        A pesar de que estudié mucho, no logré sacar buena nota en el examen.

       *A pesar que te lo expliqué una y otra vez, no lo entendiste bien.

        A pesar de que te lo expliqué una y otra vez, no lo entendiste bien.

Del mismo modo, tampoco debemos suprimir la preposición de en las siguientes construcciones: a fin de que, a condición de que o en caso de que.

Las expresiones correctas son dar la casualidad de y dar la impresión de; por tanto, no es correcto suprimir la preposición de en dichas expresiones. De lo contrario estaríamos ante otro caso de queísmo.

Ambas se construyen seguidas de una oración subordinada introducida por la conjunción que.

       *Da la casualidad que ayer llegue tarde al centro de trabajo.
         Da la casualidad de que ayer llegué tarde al centro de trabajo.

        *Me da la impresión que no quieren que nos quedemos.
          Me da la impresión de que no quieren que nos quedemos.

El verbo depender lleva, en todos los casos, un complemento con de; por lo tanto, la forma correcta es depende de a quién. Así, no es correcta la expresión depende a quién, y así lo indican tanto en el Diccionario panhispánico de dudas como en la Gramática académica. Sin embargo, en los medios de comunicación se usa dicho verbo introduciendo frases interrogativas sin de:

        *Eso depende a quién se contrate, pues hay gran diferencia de precio.
          Eso depende de a quién se contrate, pues hay gran diferencia de precio.

        *Señala que depende a qué responda, le aceptarán o no.
          Señala que depende de a qué responda, le aceptarán o no.

        *Dependiendo cómo puntúen, lograremos plaza o no.
          Dependiendo de cómo puntúen, lograremos plaza o no.

No obstante, si en un enunciado hay dos verbos (el de la oración principal y el de la subordinada) a los que corresponde la misma preposición, la Nueva gramática de la lengua española recomienda reformularlo para evitar duplicaciones. Veamos un ejemplo:

        *Depende de de quién venga a la presentación.
        *Depende de quién venga a la presentación.
          Depende de la gente que venga a la presentación.